Bài toán dựng hình

[leolas 133]

Lâu nay trên diễn đàn ta bàn về vẽ với sự trợ giúp của máy tính. Trong Cad khi chia đều đường thẳng hoặc đường tròn thành n đoạn bằng nhau thì ta dùng lệnh DIV. Nhưng có lúc trở trời " xếp" bảo vẽ không được dùng máy nữa . Mà lúc này mình phải chia một đường tròn ra làm nhiều phần bằng nhau (n phần). "Xếp" chỉ đưa cho một cây bút chì , một thước kẽ và một compa. Phải làm sao đây?

Mong các bạn giúp dùm

[Nguyen Hoanh 4.663]

Lâu nay trên diễn đàn ta bàn về vẽ với sự trợ giúp của máy tính. Trong Cad khi chia đều đường thẳng hoặc đường tròn thành n đoạn bằng nhau thì ta dùng lệnh DIV. Nhưng có lúc trở trời " xếp" bảo vẽ không được dùng máy nữa . Mà lúc này mình phải chia một đường tròn ra làm nhiều phần bằng nhau (n phần). "Xếp" chỉ đưa cho một cây bút chì , một thước kẽ và một compa. Phải làm sao đây?

Mong các bạn giúp dùm

N= bao nhiêu bạn? 1000?

[leolas 133]

N= bao nhiêu bạn? 1000?

Để chia một đường tròn thành 3,4,5 hoặc 7,9,11,17... phần bằng nhau thì mỗi loại có một phương pháp chia không giống nhau, và các cách chia đó khó nhớ được hết. Ý của em là cần có một phương pháp hình học thống nhất để chia một đường tròn thành một số tùy ý các cung bắng nhau (cho dù gần đúng, chấp nhận được). Các bác bỏ chút thời gian thư giản với trò dựng hình này xem

[Nộ Thiên 133]

Để chia một đường tròn thành 3,4,5 hoặc 7,9,11,17... phần bằng nhau thì mỗi loại có một phương pháp chia không giống nhau, và các cách chia đó khó nhớ được hết. Ý của em là cần có một phương pháp hình học thống nhất để chia một đường tròn thành một số tùy ý các cung bắng nhau (cho dù gần đúng, chấp nhận được). Các bác bỏ chút thời gian thư giản với trò dựng hình này xem

Cái này kg dễ nhai đâu. Chia với 1 số bất kỳ đã rất khó, nhất là với các số nguyên tố lớn.

PP chia tất nhiên là kg giống nhau nhưng cũng kg thể thống nhất tất cả lại đc.

[KE AN MAY DI VANG 574]

"Ý của em là cần có một phương pháp hình học thống nhất để chia một đường tròn thành một số tùy ý các cung bắng nhau (cho dù gần đúng, chấp nhận được). Các bác bỏ chút thời gian thư giản với trò dựng hình này xem".(leolas)

Không hiểu hết ý đồ ra câu đố này của bạn: muốn được trả lời theo nghĩa thực hay nghĩa hài?

- Nếu ép buộc tôi phải chia vòng tròn thành n phần đều nhau bằng PP thủ công (mà dám không đập vỡ máy tính trước mặt xếp) thì tôi sẽ làm như sau.

1- Vẽ đường tròn. 2- Từ n tính được độ dài dây cung. 3- Dùng comfa chia đường tròn thành n phần bằng cách lấy khẩu độ comfa = độ dài dây cung.

( Nếu chia đường tròn ra làm nhiều phần bằng nhau như cách làm của tôi chắc chắn là học sinh trung học cơ sở cũng làm được). Tôi nghĩ là trong câu đố này phải có gì khác thường trong cách trả lời thông thường thì bạn leolas mới ra câu đố. Đã là đố vui thì tất nhiên là tất cả mọi người tham gia dù giải được hay không giải được đều vui... Nhưng nếu như người giải đố đã botay.com, mà người ra đố lại ... câu giờ, không đưa ra đáp án hoặc gợi ý thêm thì chắc chắn sẽ người chơi sẽ bị stress vì tham giải đố ...vui... hề hề... :bigsmile:

[duy782006 1.544]

"Ý của em là cần có một phương pháp hình học thống nhất để chia một đường tròn thành một số tùy ý các cung bắng nhau (cho dù gần đúng, chấp nhận được). Các bác bỏ chút thời gian thư giản với trò dựng hình này xem".(leolas)

Không hiểu hết ý đồ ra câu đố này của bạn: muốn được trả lời theo nghĩa thực hay nghĩa hài?

- Nếu ép buộc tôi phải chia vòng tròn thành n phần đều nhau bằng PP thủ công (mà dám không đập vỡ máy tính trước mặt xếp) thì tôi sẽ làm như sau.

1- Vẽ đường tròn. 2- Từ n tính được độ dài dây cung. 3- Dùng comfa chia đường tròn thành n phần bằng cách lấy khẩu độ comfa = độ dài dây cung.

( Nếu chia đường tròn ra làm nhiều phần bằng nhau như cách làm của tôi chắc chắn là học sinh trung học cơ sở cũng làm được). Tôi nghĩ là trong câu đố này phải có gì khác thường trong cách trả lời thông thường thì bạn leolas mới ra câu đố. Đã là đố vui thì tất nhiên là tất cả mọi người tham gia dù giải được hay không giải được đều vui... Nhưng nếu như người giải đố đã botay.com, mà người ra đố lại ... câu giờ, không đưa ra đáp án hoặc gợi ý thêm thì chắc chắn sẽ người chơi sẽ bị stress vì tham giải đố ...vui... hề hề... :)

 

Cách này của bạn không ổn. n càng nhỏ thỉ sai số càng lớn :)

[lekhoa 0]

Xin hỏi đây là bài toán đố vui hay thuần túy là tìm một thuật toán chia vòng tròn thành n cung bằng nhau.Nếu thực sự chia thành n cung bằng nhau mà tổng quát cho n bất kì thì chỉ có thuật toán đệ quy thôi. Vì nếu chia cho n cung bằng cách đó thì phải chia được cho n-1 cung cũng bằng cách đó.Do đó mình nghĩ là phải có một thuật toán đệ qui. Cái này hay đó,để mình về suy nghĩ tiếp.

Bà con nào giải được thì gợi ý nha.

[Nguyen Hoanh 4.663]

Có 1 bài toán này đôi lúc cũng cần (nhưng ACAD không có sẵn):

Cho 1 hình ellipse và 1 điểm trên nó. Hãy dựng 1 đường thẳng đi qua điểm đó và tiếp xúc với hình ellipse đã cho.

 

Mời mọi người nhào dzô!

 

----------------------------

Bình luận: nếu là 1 điểm không thuộc hình ellipse thì quá dễ, chỉ cần gọi lệnh line, sau đó chọn _TAN(gent) là xong. Nhưng bài toán này không thể ăn sẵn như vậy được mà cần phải thêm 1 chút kiến thức về đường Conic (kiến thức lớp 12).

[KE AN MAY DI VANG 574]

Lời giải đố:- Có bạn nào có cách dựng khác không

:) :)

[Nguyen Hoanh 4.663]

Chưa hiểu!

Ktgia có thể chỉ rõ cách dựng 2 đường song song với OA không?

 

Cách của mình không giống thế này!

[KE AN MAY DI VANG 574]

Dùng lệnh Offset, sau đó nối hai giao điểm của 2 đường// OA với hình elip. Cách dựng hình của bạn?

:) :)

[Nguyen Hoanh 4.663]

Dùng lệnh Offset, sau đó nối hai giao điểm của 2 đường// OA với hình elip. Cách dựng hình của bạn?

:) :)

Đặt câu hỏi ngược lại với phương pháp của Ksgia nhé: Đường thẳng tiếp tuyến với ellispe qua điểm A là duy nhất (chỉ có 1). Trong khi đó, với mỗi cự li offset làm theo cách của Ksgia sẽ cho ra 1 đường thẳng khác nhau qua điểm A (và số đường này là vô hạn). Dễ dàng kết luận cách của bạn chưa đúng rồi.

 

----------------------

Gợi ý: Đường tiếp tuyến với ellispe tại A sẽ vuông góc với đường pháp tuyến qua A. Nếu tìm được pháp tuyến qua A ta sẽ có lời giải. Trong trường hợp đường tròn, pháp tuyến qua A sẽ là OA, nhưng với Ellipse thì sao? Điểm nào dùng để neo dây khi vẽ đường tròn? và điểm nào dùng để neo dây khi vẽ ellispe?

[Nộ Thiên 133]

Đặt câu hỏi ngược lại với phương pháp của Ksgia nhé: Đường thẳng tiếp tuyến với ellispe qua điểm A là duy nhất (chỉ có 1). Trong khi đó, với mỗi cự li offset làm theo cách của Ksgia sẽ cho ra 1 đường thẳng khác nhau qua điểm A (và số đường này là vô hạn). Dễ dàng kết luận cách của bạn chưa đúng rồi.

 

----------------------

Gợi ý: Đường tiếp tuyến với ellispe tại A sẽ vuông góc với đường pháp tuyến qua A. Nếu tìm được pháp tuyến qua A ta sẽ có lời giải. Trong trường hợp đường tròn, pháp tuyến qua A sẽ là OA, nhưng với Ellipse thì sao? Điểm nào dùng để neo dây khi vẽ đường tròn? và điểm nào dùng để neo dây khi vẽ ellispe?

cách của ksgia là đúng rồi. Khi offset OA ra 2 bên với những khoảng cách bằng nhau, thì sẽ cho ra những đường thẳng khác nhau nhưng tất cả chúng đều // với nhau. Vì vậy cũng chỉ cho ra 1 đường tiếp tuyến duy nhất thôi.

Cách của Bác Hoành chưa chắc hay bằng KSgia đâu. Bác Hoành xem lại???

[Nguyen Hoanh 4.663]

cách của ksgia là đúng rồi. Khi offset OA ra 2 bên với những khoảng cách bằng nhau, thì sẽ cho ra những đường thẳng khác nhau nhưng tất cả chúng đều // với nhau. Vì vậy cũng chỉ cho ra 1 đường tiếp tuyến duy nhất thôi.

Cách của Bác Hoành chưa chắc hay bằng KSgia đâu. Bác Hoành xem lại???

 

Nếu để cho một giải pháp gần đúng thì cách của Ksgia là dùng được. Nhưng nếu nói đó là tiếp tuyến thì không phải.

 

Do sai số rất bé, nên các đoạn thẳng này dường như song song. Hãy làm cách sau để cảm nhận: Bạn hãy vẽ một ellispe có 2 bán kính thật lớn. Sau đó offset 2 lần, một lần là khoảng offset cách bé, một lần là khoảng cách tương đối lớn 1 chút. Sau đó so sánh sự song song của 2 line này bằng cách copy 1 đường line này chập 1 đỉnh với đường line kia, rồi phóng to đường line bé lên bằng đường line lớn. Ta sẽ thấy sai số.

 

Hoặc bạn có thể dùng lisp đo góc dưới đây có độ chính xác cao hơn để đo góc giữa 2 line:

(defun c:goc (/	   la	lb   p1a  p2a  p1b  p2b	 x1a  y1a  z1a	x1b
      y1b  z1b	x2a  y2a  z2a  x2b  y2b	 z2b  tvh  tt	gg
     )
 (defun dxf (a B )
   (cdr (assoc a (entget B )))
 )
 (setq la (car (entsel "\nHay nhap vao duong thang thu nhat: ")))
 (if (and la (= (dxf 0 la) "LINE"))
   (redraw la 3)
   (progn
     (princ "\nPhai chon doi tuong LINE")
     (exit)
   )
 )
 (setq lb (car (entsel "\nHay nhap vao duong thang thu hai: ")))
 (redraw la 4)
 (if (not (and lb (= (dxf 0 lb) "LINE")))
   (progn
     (princ "\nPhai chon doi tuong LINE")
     (exit)
   )
 )

 (setq	la (entget la)
lb (entget lb)
 )

 (setq	p1a (cdr (assoc '10 la))
p2a (cdr (assoc '11 la))
p1b (cdr (assoc '10 lb))
p2b (cdr (assoc '11 lb))

x1a (car p1a)
y1a (cadr p1a)
z1a (caddr p1a)
x1b (car p1b)
y1b (cadr p1b)
z1b (caddr p1b)

x2a (car p2a)
y2a (cadr p2a)
z2a (caddr p2a)
x2b (car p2b)
y2b (cadr p2b)
z2b (caddr p2b)

tvh 0

tvh (+ tvh (* (- x1a x2a) (- x1b x2b)))
tvh (+ tvh (* (- y1a y2a) (- y1b y2b)))
tvh (+ tvh (* (- z1a z2a) (- z1b z2b)))

tt  (/ tvh (* (distance p1a p2a) (distance p1b p2b)))
				;cos cua goc
 )

 (if (= tt 0)
   (setq gg (/ pi 2))			; neu tt=0
   (setq gg (atan (/ (sqrt (- 1 (* tt tt))) tt)))
 )

 (setq gg (* gg (/ 180 pi)))
 (princ "\nGoc cua hai canh la ")
 (princ gg)
 (princ "\n do")
 (princ)
)

 

 

Cách của tôi không đơn giản như của Ksgia, nó nhiều bước hơn 1 chút.

 

--------------------------------

Gợi ý: Hãy qua tâm đến tiêu điểm của Ellipse, nó có tác dụng giống như tâm của hình tròn trong việc điều khiển biên ellipse. Ta chỉ có thể vẽ hình ellipse bằng tay khi có 2 tiêu điểm chứ không thể vẽ ellipse bằng tay khi có tâm và 2 bán kính (mà không thông qua tiêu điểm). Thêm nữa, giả sử có 1 cái gương hình trụ ellipse, nếu đặt 1 bóng đèn tại 1 tiêu điểm của ellipse, ta sẽ có ánh sáng hội tụ tại tiêu điểm kia của ellipse. Tính chất này đúng với cả Parabol: Nếu đặt 1 bóng đèn tại tiêu điểm của parabol, ta sẽ có ánh sáng hội tụ ở vô tận (tức là ánh sáng song song - cái này ứng dụng cho chao đèn).

 

Một câu chuyện ngoài lề: Do sai số của một vài phương pháp tính đối với các đường conic là rất bé. Nên nhiều khi rất khó xác định bản chất một vấn đề chỉ thông qua quan sát đường conic. VD: ngày xưa, khi quan sát được một đoạn quỹ đạo của sao chổi, người ta không tài nào đoán được quỹ đạo toàn bộ của nó là ellipse (tuần hoàn) hay parabol (không tuần hoàn).

[bemove 1.314]

Theo toán học lớp 12 về 3 đường conic ta có:

Phương trình tiếp tuyến của elip:

x²/a² + y²/b² = 1

là:

x*x₀ /a² + y*y₀ /b² = 1

 

trong đó: a, b là các bán trục của elip. x₀, y₀ là tọa độ điểm A.

 

:)

[be_chanh 894]

em bắt đầu thấy nể bác rồi đấy...thi đại học thì thi văn sử địa, thế mà đến cái phương trình vẫn còn nhớ híc :)

[leolas 133]

Xin hỏi đây là bài toán đố vui hay thuần túy là tìm một thuật toán chia vòng tròn thành n cung bằng nhau.Nếu thực sự chia thành n cung bằng nhau mà tổng quát cho n bất kì thì chỉ có thuật toán đệ quy thôi. Vì nếu chia cho n cung bằng cách đó thì phải chia được cho n-1 cung cũng bằng cách đó.Do đó mình nghĩ là phải có một thuật toán đệ qui. Cái này hay đó,để mình về suy nghĩ tiếp.

Bà con nào giải được thì gợi ý nha.

Đây là cách chia vòng tròn thành n phần bắng nhau. Cách này của nhà toán học người Nga Ia.I. Perelman. Trong ví dụ dưới đây mình chia đường tròn thành 9 phần :

Trên đường kính AB bất kỳ trong số các đường kính đường tròn, chúng ta dựng một tam giác đều ACB và chia đường kính AB bằng điểm D theo tỉ số AD/AB=2/9 (trong trường hợp tổng quát AD/AB=2/n). Chúng ta nối các điểm C,D bằng một đoạn thằng và kéo dài cắt đường tròn tại điểm E. Khi đó cung AE sẽ gần bằng 1/9 đường tròn(trong trường hợp tổng quát thi cung AE gần bằng 360o/n) hay dây AE sẽ là cạnh của đa giác đều nội tiếp có 9 cạnh (hay n cạnh). Sai số tương đối khi đó bằng 0,8%. Với sự tăng số phép chia n, độ chình xác của phương pháp này giảm đi đáng kể, tức sai số tương đối tăng lên, nhưng bằng các kết quả thực nghiệm thì với mọi giá trị n sai số đó không vượt quá 10%

[bemove 1.314]

em bắt đầu thấy nể bác rồi đấy...thi đại học thì thi văn sử địa, thế mà đến cái phương trình vẫn còn nhớ híc :)

 

Thực ra là theo toán học lớp 12 và cụm từ khóa trên google "phương trình tiếp tuyến của elip" :)

[Nguyen Hoanh 4.663]

Đây là cách chia vòng tròn thành n phần bắng nhau. Cách này của nhà toán học người Nga Ia.I. Perelman. Trong ví dụ dưới đây mình chia đường tròn thành 9 phần :

Trên đường kính AB bất kỳ trong số các đường kính đường tròn, chúng ta dựng một tam giác đều ACB và chia đường kính AB bằng điểm D theo tỉ số AD/AB=2/9 (trong trường hợp tổng quát AD/AB=2/n). Chúng ta nối các điểm C,D bằng một đoạn thằng và kéo dài cắt đường tròn tại điểm E. Khi đó cung AE sẽ gần bằng 1/9 đường tròn(trong trường hợp tổng quát thi cung AE gần bằng 360o/n) hay dây AE sẽ là cạnh của đa giác đều nội tiếp có 9 cạnh (hay n cạnh). Sai số tương đối khi đó bằng 0,8%. Với sự tăng số phép chia n, độ chình xác của phương pháp này giảm đi đáng kể, tức sai số tương đối tăng lên, nhưng bằng các kết quả thực nghiệm thì với mọi giá trị n sai số đó không vượt quá 10%

cách này lại gặp phải một vấn đề là: làm sao để chia được đoạn thẳng thành n phần bằng nhau?

Chia cũng đã gặp sai số, vẽ còn gặp tiếp sai số, sai số + sai số lại sợ bằng kết quả sai mất!

[KE AN MAY DI VANG 574]

"Trên đường kính AB bất kỳ trong số các đường kính đường tròn, chúng ta dựng một tam giác đều ACB và chia đường kính AB bằng điểm D theo tỉ số AD/AB=2/9 (trong trường hợp tổng quát AD/AB=2/n). Chúng ta nối các điểm C,D bằng một đoạn thằng và kéo dài cắt đường tròn tại điểm E. Khi đó cung AE sẽ gần bằng 1/9 đường tròn(trong trường hợp tổng quát thi cung AE gần bằng 360o/n). nhưng bằng các kết quả thực nghiệm thì với mọi giá trị n sai số đó không vượt quá 10%"(leolas)

 

Hình như có một điều gì đó bất ổn thỉ phải ? Xác định độ dài của cung AE bằng dựng hình liệu có " xinh gái" hơn việc tính độ dài dây cung bằng dựa vào số phần n không? (Các bài toán dựng xưa nay, không thấy bài nào ra điều kiện là không được dùng phép tỉnh...)

 

Phải chăng, vì sợ sai số tích lũy nên bạn Nguyen Hoanh đã viết:"cách này lại gặp phải một vấn đề là: làm sao để chia được đoạn thẳng thành n phần bằng nhau?Chia cũng đã gặp sai số, vẽ còn gặp tiếp sai số, sai số + sai số lại sợ bằng kết quả sai mất!"

 

Theo tôi thì sai số đến 10% là một con số không nhỏ chút nào... mời các bạn tham khảo, suy ngẫm về mẩu tin dưới đây:

 

""1 giờ 10 phút ngày 28-10-2003! 6.274m ( 6,274 Km) con hầm đường bộ lớn nhất, hiện đại nhất Đông Nam Á đã khai thông...Vào cái thời khắc lịch sử, khi 2 đầu Bắc - Nam của đường hầm Hải Vân gặp nhau, kỹ sư Nguyễn Vũ Anh Tú – Giám đốc Dự án Công trình Hầm đường bộ qua đèo Hải Vân thuộc gói thầu 1B, phấn khởi: “Thế là hoàn toàn thành công. Kết quả đạt được thật tuyệt vời, sự sai lệch khi 2 đầu miệng hầm gặp nhau là không đáng kể”... * "Lỗ hổng" hai đầu hầm đường bộ chính xác ở mức độ nào?

 

- Cả hai đầu Bắc Nam đều gặp nhau đúng tọa độ. Sai số kỷ thuật cho phép là 10cm nhưng ở đây mũi khoan hai đầu chỉ xê dịch nhau 3 cm ."- (Theo Việt báo. Vn - Thứ tư, 29 Tháng mười 2003, 10:29 GMT+70)

[Nguyen Hoanh 4.663]

Vì chẳng ai quan tâm đến chủ đề dựng hình nữa, nên phải công bố đáp án thôi.

 

Đáp án bài toán dựng hình tiếp tuyến của Ellipse tại điểm A:

1. Tìm 2 tiêu điểm của Ellispe bằng cách tìm giao của đường tròn tâm B và có bán kính bằng bán kính lớn của Ellipse (lệnh Circle + Move)

2. Vẽ 2 đường thằng AF1 và AF2 (lệnh Xline)

3. Vẽ đường phân giác ngoài của góc F1-A-F2 là tiếp tuyến cần tìm (lệnh Xline tham số Bisect).

[Nộ Thiên 133]

Đây là 1 cách giải khác:

Dựa vào ý tưởng tiếp tuyến của đường elip và đtròn tạo thành mp tiếp xúc với mặt trụ đc tạo bởi đtròn và đelip đó.

(elip chính là hình chiếu của đtròn lên mặt phẳng nghiêng)

Nhờ Bác Hòanh kiểm tra giúp có đúng kg?

[Nguyen Hoanh 4.663]

Cách này đúng rồi lại nhanh.

Đây là giải pháp dựa vào hình học topo, một đường thẳng khi tiếp xúc với 1 đường cong thì hình chiếu của chúng lên bất cứ phương nào cũng vẫn tiếp xúc.

Hình ellipse và đoạn JA là hình chiếu nghiêng của hình tròn và đoạn JA'.

[Nộ Thiên 133]

Cách này đúng rồi lại nhanh.

Đây là giải pháp dựa vào hình học topo, một đường thẳng khi tiếp xúc với 1 đường cong thì hình chiếu của chúng lên bất cứ phương nào cũng vẫn tiếp xúc.

Hình ellipse và đoạn JA là hình chiếu nghiêng của hình tròn và đoạn JA'.

Thì ra đụng đến topo mà chẳng biết là topo.

[KE AN MAY DI VANG 574]

Nhất trí với cách dựng của hai bạn Nguyen Hoanh và Nộ Thiên. :) :)

Một điểm nằm trên đường tròn chỉ có thể dựng được duy nhất một đường thẳng tiếp xúc đường tròn. Điều này có đúng với hình Ellipse không?

Dùng lệnh Trim trong Aut Cad có thể khẳng định vị trí của đường thẳng: tiếp xúc, không tiếp xúc và cắt đường tròn tại 2 điểm...???!!! :)

 

 

(Gửi bạn Nộ Thiên, bạn có thể xén bớt phần thừa của hình minh họa cho dễ xem được không? (Để khung hình vẽ lớn, cửa sổ trang tin này bị nằm ngoài màn hình, muốn đọc toàn cảnh phải kéo thanh trượt.)